ALÔ TURMA
PARA TODA A TURMA.
ESTUDEM – LEIAM – RESUMA E TRANSCREVA PARA O SEU CADERNO.
FUNÇOES
Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas comum elemento do segundo conjunto.
Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor de x sendo a imagem da função.
Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.
Na matemática, o estudo de função é separado conforme as suas características, como:
Função do 1º grau
Função do 2º grau
Função modular
Função exponencial
Nosso trabalho com o Professor: JONAS
FUNÇOES DO 1 GRAU
Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a
R* e b R. Veja alguns exemplos de Função afim.
f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1
f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1
f(x) = x ; a = 1 e b = 0
f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
2 2
Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = -2 x = - 1 x = 0
y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3
y = - 7 y = - 5
x = 1
y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1
Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R.
APLICAÇAO DE UMA FUÇÃO DE 1 GRAU
Exemplo 1
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré – estabelecido.
Vamos determinar:
a) A função correspondente a cada plano.
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem.
a) Plano A: f(x) = 20x + 140
Plano B: g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econômico:
g(x) > f(x)
25x + 110 > 20x + 140
25x – 20x > 140 – 110
5x > 30
x > 30/5
x > 6
Para que o Plano B seja mais econômico:
g(x) < f(x)
25x + 110 < 20x + 140
25x – 20x < 140 – 110
5x < 30
x < 30/5
x < 6
Para que eles sejam equivalentes:
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x – 20x = 140 – 110
5x = 30
x = 30/5
x = 6
O plano mais econômico será:
Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.
Plano B = quando número de consultas for menor que 6.
Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.
Exemplo 2
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;
b) Calcule o custo de produção de 400 peças.
Respostas
a) f(x) = 1,5x + 16
b) f(x) = 1,5x + 16
f(400) = 1,5*400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.
Exemplo 3
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?
f(x)=0,9x+4,5
f(22)=0,9*22+4,5
f(22)=19,8+4,5
f(22)=24,3
O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré – estabelecido.
Vamos determinar:
a) A função correspondente a cada plano.
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem.
a) Plano A: f(x) = 20x + 140
Plano B: g(x) = 25x + 110
b) Para que o plano A seja mais econômico:
g(x) > f(x)
25x + 110 > 20x + 140
25x – 20x > 140 – 110
5x > 30
x > 30/5
x > 6
Para que o Plano B seja mais econômico:
g(x) < f(x)
25x + 110 < 20x + 140
25x – 20x < 140 – 110
5x < 30
x < 30/5
x < 6
Para que eles sejam equivalentes:
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x – 20x = 140 – 110
5x = 30
x = 30/5
x = 6
O plano mais econômico será:
Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.
Plano B = quando número de consultas for menor que 6.
Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.
Exemplo 2
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;
b) Calcule o custo de produção de 400 peças.
Respostas
a) f(x) = 1,5x + 16
b) f(x) = 1,5x + 16
f(400) = 1,5*400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.
Exemplo 3
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?
f(x)=0,9x+4,5
f(22)=0,9*22+4,5
f(22)=19,8+4,5
f(22)=24,3
O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.
ESTUDOS DE SINAIS
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
Função Crescente – a > 0
Função Crescente – a > 0
Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem. Observe a tabela de pontos e o gráfico da função y = 2x – 1.
x | y |
-2 | -5 |
-1 | -3 |
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 3 |
Função Decrescente – a < 0
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e  |
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola |
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
 |
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
 |
Representação gráfica |
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
Exemplo 1
A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = – 3
y = – (–3)2 + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14
x = – 2
y = –( – 2)2 + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8
x = –1
y = – (–1)2 + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4
x = 0
y = 02 + 0 – 2
y = – 2
x = 1
y = – 12 + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2
x = 2
y = – 22 + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4
Exemplo 2
Dada a função y = 2x2 + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
x = –2
y = 2*(–2)2 + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9
x = –1
y = 2*(–1)2 + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4
x = 0
y = 2*02 + 0 + 3
y = 3
x = 1
y = 2*12 + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6
x = 2
y = 2*22 + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13
x = 3
y = 2*32 + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24
x = 4
y = 2*42 + 4 + + 33
y = 32 + 4 + 3
y = 39
Exemplo 3
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
f(0) = 3 * 02 – 5 * 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = – 3 ou
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
Exemplo 1
A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = – 3
y = – (–3)2 + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14
x = – 2
y = –( – 2)2 + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8
x = –1
y = – (–1)2 + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4
x = 0
y = 02 + 0 – 2
y = – 2
x = 1
y = – 12 + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2
x = 2
y = – 22 + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4
Exemplo 2
Dada a função y = 2x2 + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
x = –2
y = 2*(–2)2 + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9
x = –1
y = 2*(–1)2 + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4
x = 0
y = 2*02 + 0 + 3
y = 3
x = 1
y = 2*12 + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6
x = 2
y = 2*22 + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13
x = 3
y = 2*32 + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24
x = 4
y = 2*42 + 4 + + 33
y = 32 + 4 + 3
y = 39
Exemplo 3
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
f(0) = 3 * 02 – 5 * 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = – 3 ou
Esta pesquisa é um ajuntado para auxiliar no seu trabalho.
Lembre-se é totalmente manuscrito, faça o seu resumo, pesquise mais definições e
Mãos a obra.
Boa sorte a todos,
Aroldo Santos.
Anexo do documento para impressão: http://www.4shared.com/document/MwGjR7lY/MATEMATICA-Funoes.html
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